复数入门

(一) 复数

一.定义

若$i$符合方程$X^2+1=0$, 则$i$被称为虚数单位

复数$z=a+bi \left(a,b\in \mathbb{R}\right)$

$a$为实部, $b$为虚部, 记$:a=Re(z),b=Im(z)$

二.分类

当$b=0$时, 复数$z$为实数

当$b\ne0$时, 复数$z$为虚数

当$b\ne0$且$a=0$时, 复数$z$为纯虚数

三.法则

若有复数$z_1=a+bi\;,z_2=c+di\left(a,b,c,d\in\mathbb{R}\right)$

加法$:z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i$

减法$:z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i$

乘法$:z_1\cdot z_2 = (ac-bd)+(bc+ad)i$

除法$:\frac{z_1}{z_2}=\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{(bc-ad)i}{c^2+d^2}$

四.定律

复数运算满足加法交换律,加法结合律,乘法交换律,乘法结合律,乘法分配律

五.共轭

当两个复数的实部相等, 虚部互为相反数时, 称这两个复数为共轭复数

特别的, 若虚部不为零时, 也称作互为共轭虚数

对于复数$z=a+bi(a,b\in\mathbb{R})$, 共轭复数用$\overline{z}=a-bi(a,b\in\mathbb{R})$表示

性质:

六.几何

$z=a+bi(a,b\in\mathbb{R})$与复平面上的点$Z(a,b)$是一一对应的。点$Z(a,b)$与向量$\vec{OZ}$也成一一对应关系,点 $Z$与$\vec{OZ}$均为复数$z=a+bi(a,b\in\mathbb{R})$的几何形式

向量$\vec{OZ}$的模称为复数$Z$的模$\left\vert z \right\vert$,即

性质:

七.表示形式

  • 代数形式:$z=a+bi$,其中 $a,b\in \mathbb R$
  • 几何形式:$z=a+bi\Rightarrow z(a,b)$,可以看由原点发出的向量 $\vec{OZ}$
  • 三角形式:$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$,其中 $r\ge0,\theta\in \mathbb R$
  • 指数形式:$z=re^{i\theta}$,其中 $r\ge0,\theta\in \mathbb R$
    • 有欧拉公式:$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$

(二) 复数的模与辐角

设复数$z=a+bi(a,b\in\mathbb{R})$ 所对应的向量为$\vec{OZ}$,我们称始边是$x$轴正半轴,终边是$\vec{OZ}$的角称为复数$z$的辐角,记作:$Arg\;z$

在 $[0,2\pi)$的辐角叫做复数$z$的辐角主值,记作:$\arg{z}$

且有:

当$z\in\mathbb{R}^*$时,有:

结论:

若复数$z=a+bi(a,b\in\mathbb{R}且ab\ne0)$,则有:

设复数$z=a+bi(a,b\in\mathbb{R})$的模等于$r$,辐角为$\theta$

那么称$z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})$为复数$z=a+bi(a,b\in\mathbb{R})$的三角式

运算

一.平方与开方

若$z_1=r_1(\cos{\theta_1}+i\sin{\theta_1}),z_2=r_2(\cos{\theta_2}+i\sin{\theta_2})$,则:

复数的$n$次幂的模等于这个复数模的$n$次幂,它的辐角等于这个复数的辐角的$n$倍(棣莫佛定理),即:

二.除法

若$z_1=r_1(\cos{\theta_1}+i\sin{\theta_1}),z_2=r_2(\cos{\theta_2}+i\sin{\theta_2})$,则:

三.开方

复数$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$的$n(n\in\mathbb{N}^*)$次方根为:

复数的$n$次方根为$n$个复数,模均为这个复数的模的$n$次算数平方根,辐角分等于这个数的辐角与$2\pi$的$0,1,2\cdots n-1$倍的和的$n$分之一

四.三角函数

复数$z=\cos\theta+i\sin\theta=e^{i\theta}$,则:

(三) 复数与方程

一.实际方程$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$在复数集$\mathbb{C}$中有两个根

二.复平面上的曲线方程

若复数$z$对应着复平面上的一个点$Z(x,y)$,就可以得出一些常用曲线的复数形式的方程:

(四)单位根

对于方程$x^n-1=0(n\in\mathbb{N}^*,n\geqslant2)$

由复数开方法则,就可以得到它的$n$个根

他们显然是1的$n$次方根,称为$n$次单位根

利用复数乘方公式,有:

这说明,$n$个$n$次单位根可以表示为:

关于$n$次单为根,性质如下:

(五) 复数与向量的应用

  • 设复平面上两点$Z_1Z_2$对应的复数分别是$z_1,z_2$,那么两点的距离满足:
  • 二.设复平面上两点$Z_1,Z_2$应的复数分别是$z_1,z_2$,那么线段$Z_1Z_2$定比分点$Z$对应的复数可以表示为
  • 三.设复平面上三个点$Z_1,Z_2,Z_3$应的复数分别是$z_1,z_2,z_3$,这三点共线的充要条件是存在不全为零的实数$\lambda_1\lambda_2\lambda_3$,使如下两式同时成立:
  • 四.设不共线的四点$A,B,C,D$对应的复数分别为$z_1,z_2,z_3,z_4$,则四点共圆的充要条件是:
  • 五.设不共线的三点$A,B,C$对应的复数$z_1,z_2,z_3$,则$\Delta ABC$的面积公式为: